Sea A = LL$^{t}$ la descomposicion Cholesky de A, con 
\begin{equation}
L = \bordermatrix{& \cr
	          &1 & 0 & 0 & 0 \cr
	          &0 & 1 & 0 & 0 \cr
	          &0 & \sqrt[2]{3} & 1 & 0 \cr
	          &0 & 0 & \frac{\sqrt[2]{3}}{2} & 1
	          \cr} 
\end{equation}


1$^{ro}$) Queremos reemplazar $\sqrt{3}$ por $0$, para ir transformando a $L$ en una matriz triangular superior. 
Para ello vamos a utilizar el paso de Givens tomando\\
\begin{equation}
Q_{23} = \bordermatrix{& \cr
	          &1 & 0 & 0 & 0 \cr
	          &0 & \frac{x_1}{\sqrt[2]{x_1^2 + x_2^2}} & \frac{x_2}{\sqrt[2]{x_1^2 + x_2^2}} & 0 \cr
	          &0 & \frac{-x_2}{\sqrt[2]{x_1^2 + x_2^2}} & \frac{x_1}{\sqrt[2]{x_1^2 + x_2^2}} & 0 \cr
	          &0 & 0 & 0 & 1
	          \cr} 
\end{equation}
Donde
\begin{equation}
x_1 = 1 
\end{equation}
\begin{equation}
x_2 = \sqrt{3}
\end{equation} 
Por lo tanto nos queda
\begin{equation}
Q_{23} = \bordermatrix{& \cr
	          &1 & 0 & 0 & 0 \cr
	          &0 & \frac{1}{2} & \frac{\sqrt[2]{3}}{2} & 0 \cr
	          &0 & \frac{-\sqrt[2]{3}}{2} & \frac{1}{2} & 0 \cr
	          &0 & 0 & 0 & 1
	          \cr} 
\end{equation}
Luego lo que hacemos es multiplicar a $L$ por la matriz Q$_{23}$ para ponerle un cero abajo de la diagonal en la columna 2:
\begin{equation}
Q_{23}*L = \bordermatrix{& \cr
	          &1 & 0 & 0 & 0 \cr
	          &0 & 2 & \frac{3}{2} & 0 \cr
	          &0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \cr
	          &0 & 0 & \frac{\sqrt[2]{3}}{2} & 1
	          \cr} 
\end{equation}
 
2$^{do}$) Ahora vamos a utilizar un paso de Householder, queremos encontrar 
\begin{equation}
H = I - 2 * u * u^{'} 
\end{equation} 
con $\|$ u $\|$ $_{2}$ = 1\\
Sea $x$ la tercera columna de (Q$_{23}$*L) queremos una funci\'on que mande $x$ a $y$ con
\begin{equation}
x = \bordermatrix{& \cr
	          &0  \cr
	          &3/2 \cr
	          &1/2 \cr
	          & \frac{\sqrt[2]{3}}{2}
	          \cr}          
\end{equation}
\begin{equation}
y = \bordermatrix{& \cr
	          &0  \cr
	          &3/2 \cr
	          &1 \cr
	          &0
	          \cr}          
\end{equation}
Sea
\begin{equation}
u = \frac{x-y}{\| x-y \| _{2}} = \bordermatrix{& \cr
	          &0  \cr
	          &0 \cr
	          &-1/2 \cr
	          & \frac{\sqrt[2]{3}}{2}
	          \cr}
\end{equation}
Entonces haciendo los c\'alculos 
\begin{equation}
H = \bordermatrix{& \cr
	          &1 &0 &0 &0 \cr
	          &0 &1 &0 &0 \cr
	          &0 &0 &1/2 &\frac{\sqrt[2]{3}}{2} \cr
	          &0 &0 &\frac{\sqrt[2]{3}}{2} &-1/2
	          \cr}
\end{equation}
Usamos H para que (Q$_{23}$*L) sea triangular superior
\begin{equation}
H * (Q_{23}*L) = \bordermatrix{& \cr
	          &1 &0 &0 &0 \cr
	          &0 &1 &3/2 &0 \cr
	          &0 &0 &1 &\frac{\sqrt[2]{3}}{2} \cr
	          &0 &0 &0 &-1/2
	          \cr}
\end{equation}\\\\
Una vez hechos los pasos de Givens y Householder, tenemos la factorizaci\'on $QR$ de $L$,\\ 
$L$ = Q$^{'}$ R$^{'}$ donde
\begin{equation}
R^{'} = H.Q_{23}.L = \bordermatrix{& \cr
	          &1 &0 &0 &0 \cr
	          &0 &1 &3/2 &0 \cr
	          &0 &0 &1 &\frac{\sqrt[2]{3}}{2} \cr
	          &0 &0 &0 &-1/2
	          \cr}
\end{equation} 
\begin{equation}
Q^{'} = H . Q_{23} = \bordermatrix{& \cr
	          &1 &0 &0 &0 \cr
	          &0 &1/2 &\frac{\sqrt[2]{3}}{2} &0 \cr
	          &0 &\frac{\sqrt[2]{3}}{4} &1/4 &\frac{\sqrt[2]{3}}{2} \cr
	          &0 &-3/4 &-\frac{\sqrt[2]{3}}{4} &-1/2
	          \cr}
\end{equation}
Pero lo que queremos hallar es la factorizaci\'on $QR$ de $A$. Para ello reemplazamos L por su factorizaci\'on $QR$ obteniendo
\begin{equation}
A = L.L^{'} = (H . Q_{23}) . (H.Q_{23}.L) . L^{'} = (H . Q_{23}) . (H.Q_{23}.L.L^{'})
\end{equation}  
Si tomamos  
\begin{equation}
Q = (H . Q_{23}) = \bordermatrix{& \cr
	          &1 &0 &0 &0 \cr
	          &0 &1/2 &\frac{\sqrt[2]{3}}{2} &0 \cr
	          &0 &\frac{\sqrt[2]{3}}{4} &1/4 &\frac{\sqrt[2]{3}}{2} \cr
	          &0 &-3/4 &-\frac{\sqrt[2]{3}}{4} &-1/2
	          \cr}
\end{equation}
\begin{equation}
R = (H.Q_{23}.L.L^{'}) = \bordermatrix{& \cr
	          &1 &0 &0 &0 \cr
	          &0 &2 &4.33013 &3/4 \cr
	          &0 &0 &1 &1.73205 \cr
	          &0 &0 &0 &-1/2
	          \cr}
\end{equation}
tenemos la factorizac\'on $QR$ de $A$ y se cumplen las condiciones dado que $R$ es triangular superior y $Q$ es ortogonal.  
